Василиса▶ Я жду вашего обращения. Что Вы хотите узнать?
Логотип
Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями . Названа в честь Леонарда Эйлера , который её ввёл.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

,

где одна из важнейших математических констант , определяющаяся следующей формулой: ,

 — мнимая единица .

История

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона ) «Логометрия» ( лат.   Logometria ), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году и перепечатана в книге «Гармония мер» ( лат.   Harmonia mensurarum ), которая была издана в 1722 году , уже после смерти автора . Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид :

.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» ( лат.   Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) , построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя .

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

,
.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:

,
.

Известное тождество Эйлера , связывающее пять фундаментальных математических констант:

является частным случаем формулы Эйлера при .

Применение в теории чисел

В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида , где  — некоторое множество рассматриваемых объектов, а  — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей целые числа , имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа .

Применение в комплексном анализе

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: , . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых , но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

Взаимосвязь с тригонометрией

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией , а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции :

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера :

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy , получаем :

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например :

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например :

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos( nx ) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена . Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням . Получим:

Но

Поэтому , что и требовалось доказать .

Наглядная демонстрация

Известно , что . Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел стремится к точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется . Это, в частности, связано с тем, что .

Процесс изменения при изменении можно также наглядно продемонстрировать через производную . Общеизвестно, что и . Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию , получим . Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы , для которого известен физический смысл.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

См. также

Примечания

  1. Cotes R. Logometria   (англ.)  // Philosophical Transactions of the Royal Society of London  : journal. — 1714-1716. — Vol. 29 . — P. 32 . — DOI : 10.1098/rstl.1714.0002 .
  2. Cotes R. Harmonia mensurarum   (неопр.) . — 1722. — С. 28.
  3. González-Velasco Enrique A. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History   (англ.) . — 2011. — P. 182.
  4. Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum   (неопр.) . — 1748. — Т. 1. — С. 104.

Литература

© 2014-2020 ЯВИКС - все права защищены.
Наши контакты/Карта ссылок