Василиса▶ Я жду вашего обращения. Что Вы хотите узнать?
Логотип

Тео́рия Галуа́  — раздел алгебры , позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп , делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин « группа » для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа , соответствующей данному расширению.

Приложения

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой ?
  2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и извлечение корня )?

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени имеются два корня и , симметричных относительно точки . Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональны, то уравнению удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент и изоморфна .

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен .

Его корни: .

Существует различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — . Поскольку , перестановка не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что , но . Поэтому перестановка не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

и является четверной группой Клейна , изоморфной .

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа .

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K . Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L , оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения разрешима .

Для любого существует уравнение -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе , то есть состоит из всех возможных перестановок . Поскольку группы при не являются разрешимыми, существуют многочлены степени , корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини .

Вариации и обобщения

См. также

Литература

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.
© 2014-2019 ЯВИКС - все права защищены.
Наши контакты/Карта ссылок