Василиса▶ Я жду вашего обращения. Что Вы хотите узнать?
Логотип

Возведе́ние в сте́пень  — бинарная операция , первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a и натуральным показателем b обозначается как

,

где  — количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных , рациональных , вещественных и даже комплексных степеней.

Натуральная степень

Число называется n -й степенью числа , если

.

Свойства:

  1. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. );
  2. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень , выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

Результат не определён при и .

Рациональная степень

По определению,

Результат не определён при и .

Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа . См. подробнее Корень (математика) .

Вещественная степень

Пусть  — вещественные числа, причём  — иррациональное число . Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. ).

Потенцирование

Потенцирование (от нем.   potenzieren  — возведение в степень ) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, возведение a в степень b может быть названо другими словами «потенцированием b по основанию a ».

Комплексная степень

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e  — число Эйлера , z  — произвольное комплексное число , .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив в экспоненциальной форме и используя тождество , где  — комплексный логарифм :

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Ноль в степени ноль

Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

можно записать короче:

В любом случае соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Степень как функция

Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

Полезные формулы

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции , и для приближенного возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Употребление в устной речи

Запись обычно читается как « a в -й степени» или « a в степени n ». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры . В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда : вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a », «куб на a ». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали .

В разговорной речи иногда говорят, например, что — « a умноженное само на себя три раза» , имея в виду, что берётся три множителя . Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, « a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть . Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение» .

Обозначение

История

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм , они записывали в виде и соответственно . Начиная с Декарта , степень обозначали «двухэтажной» записью вида .

Значок степени

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки : « ** », используемые в языке Фортран . В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки : « » ( стрелки Кну́та ). В языке Бейсик предложен символ « ^ » (« циркумфлекс »), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте . Примеры:

3^2=9 ; 5^2=25 ; 2^3=8 ; 5^3=125 .

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность , в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel ) могут воспринимать запись a^b^c , как (a^b)^c , тогда как другие системы и языки (например, Haskell , Perl , Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c) , как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Во многих языках программирования (например, в Си и Паскале ) отсутствует операция возведения в степень и для этой цели используют функции .

См. также

Примечания

  1. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М. , 1959. — С. 165—167. — 456 с.
  2. Морган Джонс. Ламповые усилители . — Litres, 2014-01-16. — С. 29. — 762 с. — ISBN 9785457531772 .
  3. Август Давидов. Начальная алгебра . — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.
  4. Румовский С. Я. Сокращения математики. — Directmedia, 2014. — С. 80. — ISBN 978-5-4458-1644-7 .
  5. , с. 130—131.
Комментарии
  1. Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).
  2. Для целой степени.
  3. Для неотрицательной целой степени.
  4. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^ , реализованной только как последовательное умножение.
  5. Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности ).
  6. Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  7. Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  8. В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x,y) .

Литература

Ссылки

© 2014-2019 ЯВИКС - все права защищены.
Наши контакты/Карта ссылок