Василиса▶ Я жду вашего обращения. Что Вы хотите узнать?
Логотип
График вещественной функции
Модуль и другие характеристики комплексного числа

Абсолю́тная величина́ , или мо́дуль числа (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .

В случае вещественного  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция , определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа также иногда называемый абсолютной величиной . Он определяется по формуле:

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Комплексные числа

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел имеют место следующие соотношения:

  • (см. Функция sgn(x) ).
  • .
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

  • Модуль любого числа равен либо больше нуля: , причём тогда и только тогда, когда
  • Модули противоположных чисел равны:
  • Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей:
  • Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел:
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:
  • ( неравенство треугольника ).
  • .
  • .
  • .
  • , если существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс , ученик Ньютона . Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом . Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием ), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования . Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа . В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле , и свойства её будут аналогичны приведенным выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства , обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

© 2014-2019 ЯВИКС - все права защищены.
Наши контакты/Карта ссылок